Задача 1

Условие задачи

Известно, что произведение матриц $A$ и $B$ существует и при этом сумма элементов в каждой строке матрицы $B$ равна нулю. Докажите, что матрица $AB$ обладает тем же свойством.

Решение задачи

Пусть $A$ – матрица размера $m \times n$, $B$ – $n \times k$. Тогда их произведение $AB$ имеет размер $m \times k$. По определению умножения матриц элементы матрицы $AB$ вычисляются как $\left(AB\right)_{ij} = \sum\limits_{l = 1}^n A_{il} B_{lj}$.

Рассмотрим сумму элементов $i$-й строки матрицы $AB$: $\sum\limits_{j=1}^k \left(AB\right)_{ij} = \sum\limits_{j = 1}^k \sum\limits_{l = 1}^n A_{il} B_{lj}$.

Можем поменять порядок суммирования: $\sum\limits_{j=1}^k \left(AB\right)_{ij} = \sum\limits_{l = 1}^n \sum\limits_{j = 1}^k A_{il} B_{lj}$.

Так как $A_{il}$ не зависит от $j$, его можно вынести за внутреннюю сумму: $\sum\limits_{j=1}^k \left(AB\right)_{ij} = \sum\limits_{l = 1}^n A_{il} \sum\limits_{j = 1}^k B_{lj}$.

По условию задачи сумма элементов в каждой строке матрицы $B$ равна нулю, т.е. $\sum\limits_{j=1}^k B_{lj} = 0 \quad \forall l$.

Получаем $\sum\limits_{j=1}^k \left(AB\right)_{ij} = \sum\limits_{l = 1}^n A_{il} \sum\limits_{j = 1}^k B_{lj} = \sum\limits_{l = 1}^n A_{il} \cdot 0 = 0$. $\square$