Задача 10

Условие задачи

Система $a_1, \, \ldots, \, a_k$ линейно независима, и $b$ – ненулевой вектор. Докажите, что после замены некоторого $a_i$ на $b$ система останется линейно независимой.

Решение задачи

Рассмотрим векторное пространство $V = L\left(a_1, \, \ldots, \, a_k, \, b\right)$.

Если $b \notin \left(a_1, \, \ldots, \, a_k\right)$, то система $a_1, \, \ldots, \, a_k, \, b$ линейно независима.

Тогда система $b, \, a_2, \, \ldots, \, a_k$ является её подсистемой, а поэтому тоже линейно независима. Следовательно, вектор $a_1$ можно заменить на $b$.

Остаётся случай $b \in L\left(a_1, \, \ldots, \, a_k\right)$.

Тогда $V = L\left(a_1, \, \ldots, \, a_k\right)$, а система $a_1, \, \ldots, \, a_k$ линейно независима, следовательно, она является базисом $V$.

Одноэлементная система $b$ линейно независима, поскольку $b \ne 0$.

По лемме о дополнении до базиса линейно независимую систему $b$ можно дополнить векторами из базиса $a_1, \, \ldots, \, a_k$ до базиса векторного пространства $V$.

Следовательно, существуют векторы $a_{i_1}, \, \ldots, \, a_{i_{k - 1}}$ среди $a_1, \, \ldots, \, a_k$ такие, что система $b, \, a_{i_1}, \, \ldots, \, a_{i_{k - 1}}$ является базисом векторного пространства $V$. В частности, она линейно независима.

Значит, один из векторов $a_1, \, \ldots, \, a_k$ можно заменить на $b$ так, что полученная система останется линейно независимой. $\square$