Задача 10

Условие задачи

Система $a_1, \, \ldots, \, a_k$ линейно независима, и $b$ – ненулевой вектор. Докажите, что после замены некоторого $a_i$ на $b$ система останется линейно независимой.

Решение задачи

Разберём два взаимоисключающих случая по одному признаку: лежит ли вектор $b$ в линейной оболочке $L(a_1, \, \ldots, \, a_k)$, то есть выражается ли он через $a_1, \, \ldots, \, a_k$.

Случай 1: $b \notin L(a_1, \, \ldots, \, a_k)$. Здесь лемма о дополнении до базиса не пригождается. Покажем, что расширенная система $a_1, \, \ldots, \, a_k, \, b$ линейно независима. Возьмём произвольную её линейную комбинацию, равную нулю:

$$\lambda b + \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j a_j = 0 \ \text{.}$$

Рассмотрим коэффициент $\lambda$ при $b$. Если бы было $\lambda \ne 0$, то, поделив на $\lambda$, мы выразили бы

$$b = - \dfrac{1}{\lambda} \sum\limits_{j=1}^k \lambda_j a_j \ \text{,}$$

то есть $b$ оказался бы линейной комбинацией $a_1, \, \ldots, \, a_k$, а значит, $b \in L(a_1, \, \ldots, \, a_k)$ – вопреки условию случая. Стало быть, $\lambda = 0$. Тогда исходное равенство превращается в $\sum\limits_{j=1}^k \lambda_j a_j = 0$; по независимости $a_1, \, \ldots, \, a_k$ все $\lambda_j = 0$. Итак, все коэффициенты нулевые – система $a_1, \, \ldots, \, a_k, \, b$ независима.

Выбросим из неё первый вектор $a_1$; останется

$$b, \, a_2, \, \ldots, \, a_k \ \text{,}$$

и это ровно результат замены $a_1$ на $b$. Подсистема независимой системы сама независима: любую её нулевую комбинацию можно дописать нулевым коэффициентом при $a_1$ – получится нулевая комбинация всей системы $a_1, \, \ldots, \, a_k, \, b$, а та лишь тривиальна; значит, тривиальна и наша. В этом случае подходит индекс $i = 1$.

Случай 2: $b \in L(a_1, \, \ldots, \, a_k)$. Обозначим

$$V := L(a_1, \, \ldots, \, a_k) \ \text{.}$$

Базис векторного пространства – это любая его линейно независимая система, линейная оболочка которой совпадает с этим пространством. Обе части выполнены: система $a_1, \, \ldots, \, a_k$ независима, и её линейная оболочка совпадает с $V$. Значит, $a_1, \, \ldots, \, a_k$ – базис $V$. Он состоит из $k$ векторов, поэтому по теореме о базисах (§2.10)

$$\dim V = k \ \text{.}$$

Подслучай $k = 1$. Тогда замена $a_1$ на $b$ даёт систему из одного вектора $\left(b\right)$, а она независима, так как по условию задачи $b \ne 0$: если $\alpha b = 0$ при $b \ne 0$, то $\alpha = 0$.

Подслучай $k \geqslant 2$. Система $\left(b\right)$ базисом $V$ не является: всякий базис $V$ по теореме о базисах состоит из $\dim V = k \geqslant 2$ векторов, а в $\left(b\right)$ вектор один. Значит к $\left(b\right)$ применима лемма о дополнении до базиса (§2.11).

Применим её, взяв в роли векторов $v_1, \, \ldots, \, v_n$ из формулировки леммы наши $a_1, \, \ldots, \, a_k$ (ведь $V = L(a_1, \, \ldots, \, a_k)$), а в роли дополняемой независимой, но не базисной системы – $\left(b\right)$. Тогда систему $\left(b\right)$ можно дополнить некоторыми из $a_1, \, \ldots, \, a_k$ до базиса $V$. Пусть добавлены векторы с номерами $i_1, \, \ldots, \, i_r$ (различными); полученный базис –

$$b, \, a_{i_1}, \, \ldots, \, a_{i_r} \ \text{.}$$

В построенном базисе $r + 1$ вектор. Но по теореме о базисах любой базис $V$ содержит ровно $\dim V = k$ векторов, поэтому $r + 1 = k$, откуда $r = k - 1$.

Значит, из $k$ векторов $a_1, \, \ldots, \, a_k$ в базис вошли ровно $k - 1$ (с номерами $i_1, \, \ldots, \, i_r$), а один – не вошёл. Обозначим его номер $p$ – это единственный индекс из $\left\{1, \, \ldots, \, k\right\}$, не попавший в набор $\left\{i_1, \, \ldots, \, i_{k-1}\right\}$. Тогда построенный базис

$$b, \, a_{i_1}, \, \ldots, \, a_{i_{k-1}}$$

состоит из $b$ и всех векторов $a_j$, кроме одного $a_p$, – то есть это в точности система $a_1, \, \ldots, \, a_k$, в которой $a_p$ заменён на $b$ (порядок векторов на линейную независимость не влияет). Как базис, эта система линейно независима. В этом подслучае подходит индекс $i = p$.

В каждом из двух случаев мы указали индекс $i$, при котором замена $a_i$ на $b$ оставляет систему линейно независимой. $\square$