Задача 12

Условие задачи

Докажите, что из линейной независимости столбцов квадратной матрицы вытекает линейная независимость её строк.

Решение задачи

Пусть $A$ — квадратная матрица порядка $n$. По условию столбцы матрицы $A$ линейно независимы. Согласно утверждению из учебника, это необходимо и достаточно для обратимости матрицы. Следовательно, матрица $A$ обратима, т.е. существует матрица $A^{-1}$, такая что $AA^{-1} = I$.

Предположим, что строки матрицы A линейно зависимы. Тогда существует ненулевой вектор $\lambda = \left(\lambda_1, \, \ldots, \, \lambda_n\right)$ такой, что $\lambda^{\mathrm{T}} A = 0$.

Домножим это равенство справа на $A^{-1}$: $\left(\lambda^{\mathrm{T}} A\right) A^{-1} = 0$.

По ассоциативности умножения матриц: $\lambda^{\mathrm{T}} \left(AA^{-1}\right) = 0$.

Так как $AA^{-1} = I$, получаем $\lambda^{T} = 0$, что противоречит выбору $\lambda \ne 0$.

Следовательно, строки матрицы $A$ линейно независимы. $\square$