Задача 13
Условие задачи
В квадратной матрице элементы главной диагонали равны $2$, элементы соседних диагоналей равны $-1$, а все остальные элементы равны $0$. Докажите, что матрица является обратимой.
Решение задачи
Рассматривается квадратная матрица порядка $n$ вида:
$$
A_n =
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & \ldots & 0 \\
-1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\
0 & -1 & 2 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\
0 & \ldots & 0 & -1 & 2
\end{bmatrix}
$$
Пусть $x = \left(x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n\right)^{\mathrm{T}}$ — вектор, удовлетворяющий уравнению $A_n x = 0$.
Запишем систему уравнений поэлементно:
Для первой строки $2x_1 - x_2 = 0$. Для строк с номерами $i = 2, \, 3, \,
\ldots, \, n-1$: $-x_{i-1} + 2x_i - x_{i+1} = 0$. Для последней строки
$-x_{n-1} + 2x_n = 0$.
Проведём доказательство от противного. Предположим, что вектор $x$ ненулевой.
Тогда среди чисел $x_1, \, \ldots, \, x_n$ существует максимальное по модулю
$\left|x_k\right| \coloneqq \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \left|x_i\right|$.
Рассмотрим уравнение с номером $k$.
Случай $1 < k < n$. Имеем $-x_{k-1} + 2x_k - x_{k+1} = 0$, т.е.
$2x_k = x_{k-1} + x_{k+1} \Rightarrow 2 \left|x_k\right| =
\left|x_{k-1} + x_{k+1}\right| \leqslant \left|x_{k-1}\right| + \left|x_{k+1}\right|$.
Но по выбору $k$: $\left|x_{k-1}\right| \leqslant \left|x_k\right|$,
$\left|x_{k+1}\right| \leqslant \left|x_k\right|$. Следовательно, равенство возможно
только тогда, когда $\left|x_{k-1}\right| = \left|x_k\right| = \left|x_{k+1}\right|$,
и $x_{k-1}$ и $x_{k+1}$ имеют тот же знак, что и $x_k$.
Случай $k = 1$. Имеем $2x_1 - x_2 = 0 \Rightarrow 2 \left|x_1\right| =
\left|x_2\right|$. Но $\left|x_2\right| \leqslant \left|x_1\right|$, откуда
$x_1 = 0$.
Случай $k = n$. Аналогично: $-x_{n-1} + 2x_n = 0 \Rightarrow
2 \left|x_n\right| = \left|x_{k-1}\right| \leqslant \left|x_n\right|$, откуда
$x_n = 0$.
Из первого случая следует, что если $x_k \neq 0$, то
$\left|x_{k-1}\right| = \left|x_k\right| = \left|x_{k+1}\right|$, шаг за шагом
получаем $\left|x_1\right| = \left|x_2\right| = \ldots = \left|x_n\right|$. Но
из крайних уравнений мы уже получили $x_1 = 0$, $x_n = 0$. Следовательно:
$x_1 = x_2 = \ldots = x_n = 0$. Мы доказали, что
$A_n x = 0 \Rightarrow x = 0$. Значит, столбцы матрицы $A_n$ линейно независимы,
следовательно, матрица $A_n$ обратима. $\square$