← К списку задач

Задача 14

Условие задачи

Докажите, что обратимая трёхдиагональная матрица останется обратимой, если каждый поддиагональный элемент поделить, а каждый наддиагональный элемент умножить на одно и то же число.

Решение задачи

Пусть

$$A = \begin{bmatrix} d_1 & u_1 & 0 & \ldots &0 \\ l_1 & d_2 & u_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & l_2 & d_3 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & u_{n-1} \\ 0 & \ldots & 0 & l_{n-1} & d_n \end{bmatrix}\text{,}$$

где $l_i$ — поддиагональные элементы, $u_i$ — наддиагональные элементы, $d_i$ — диагональные элементы.

Пусть $\alpha \neq 0$ — фиксированное число. Определим новую матрицу $\widetilde{A}$ так:

Нужно доказать, что $\widetilde{A}$ обратима.

Пусть $x = \left(x_1 , \, \ldots , \, x_n\right)^{\mathrm{T}}$. Тогда система $\widetilde{A} x = 0$ имеет вид:

Введём новые переменные $y_i = \alpha^{i-1} x_i, \, i = 1, \, \ldots, \, n$. Это допустимо, т.к. $\alpha \neq 0$. Из них получаем $y_i = \alpha^{i-1} x_i \Rightarrow x_i = \frac{y_i}{\alpha^{i-1}} = \alpha^{-\left(i-1\right)} y_i$.

Рассмотрим уравнение с номером $i$ (для $2 \leqslant i \leqslant n-1$): Подставим замену $x_{i-1} = \alpha^{-\left(i-2\right)} y_{i-1}, \, x_i = \alpha^{-\left(i-1\right)} y_i, \, x_{i+1}​=\alpha^{-i} y_{i+1}​$. Получим $\frac{1}{\alpha} l_{i-1} \alpha^{-\left(i-2\right)} y_{i-1} + d_i \alpha^{-\left(i-1\right)} y_i +\alpha u_i \alpha^{-i} y_{i+1}$.
Вынесем $\alpha^{-\left(i-1\right)}$: $\alpha^{-\left(i-1\right)} \left(l_{i-1} y_{i-1} + d_i y_i + u_i y_{i+1}\right) = 0$. Т.к. $\alpha^{-\left(i-1\right)} \neq 0$, получим: $l_{i-1} y_{i-1} + d_i y_i + u_i y_{i+1} = 0$.

Рассмотрим уравнение первой строки: Подставим замену $x_1 = \alpha^0 y_1 = y_1, \, x_2 = \alpha^{-1} y_2$. Получим $d_1 y_1 + \alpha u_1 \alpha^{-1} y_2 = 0$, т.е. $d_1 y_1 + u_1 y_2 = 0$.

Рассмотрим уравнение последней строки: Подставим замену $x_{n-1} = \alpha^{-\left(n-2\right)} y_{n-1}, \, x_n = \alpha^{-\left(n-1\right)} y_n$. Получим: $\frac{1}{\alpha} l_{n-1} \alpha^{-\left(n-2\right)} y_{n-1} + d_n \alpha^{-\left(n-1\right)} y_n = 0$. Вынесем $\alpha^{-\left(n-1\right)}$: $\alpha^{-\left(n-1\right)} \left(l_{n-1} y_{n-1} + d_n y_n\right) = 0$. Т.к. $\alpha^{-\left(n-1\right)} \neq 0$, получаем $l_{n-1} y_{n-1} + d_n y_n = 0$.

Т.к. замена переменных взаимно однозначна, системы $\widetilde{A} x = 0$ и $A y = 0$ эквивалентны, т.е. их множества решений находятся во взаимно-однозначном соответствии.

Поскольку матрица $A$ обратима, система $A y = 0$ имеет только нулевое решение, т.е. $y = 0$.

Из формулы $x_i = \alpha^{-\left(i-1\right)} y_i$ и условия $\alpha \neq 0$ следует, что из $y = 0$ вытекает $x = 0$.

Таким образом, $\widetilde{A} x = 0 \Rightarrow x = 0$. Следовательно, система $\widetilde{A} x = 0$ имеет только нулевое решение, столбцы матрицы $\widetilde{A}$ линейно независимы, и поэтому матрица $\widetilde{A}$ обратима. $\square$