Задача 15

Условие задачи

Докажите, что после любой перестановки строк обратимая матрица остаётся обратимой, а её обратная матрица получается из исходной матрицы точно такой же перестановкой столбцов.

Решение задачи

Для каждого номера $j \in \left\{1, \, 2, \, \ldots, \, n\right\}$  стандартным базисным столбцом $e_j$ называется вектор $e_j = \left(0, \, \ldots, \, 0, \, 1, \, 0, \, \ldots, \, 0\right)^{\mathrm{T}}$, где на $j$-м месте стоит число 1, на всех остальных стоят нули.

Единичная матрица порядка $n$ имеет вид

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{bmatrix}\text{,}$$

её $j$-й столбец по определению равен $e_j$.

Пусть $A$ — матрица порядка $n$, $a_1, \, \ldots, \, a_n$ — её столбцы.

Если столбцы $a_1, \, \ldots, \, a_n$ линейно независимы, то по доказанному в тексте учебника утверждению, система $Ax = b$ имеет единственное решение для любой правой части $b$. В частности, для $b = e_j$. Следовательно, система $Ax = e_j$ совместна и имеет единственное решение.

Обозначим через $b_j$ единственное решение системы $Ax = e_j$. Определим матрицу $B = \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & \ldots & b_n\end{bmatrix}$. Тогда по определению умножения матриц $AB = I$. Так как столбцы матрицы $A$ линейно независимы, матрица $A$ обратима. Следовательно, существует матрица $A^{-1}$, такая что $A^{-1}A = AA^{-1} = I$.

Домножим $AB = I$ слева на $A^{-1}: A^{-1} \left(AB\right) = A^{-1} I$. По ассоциативности умножения матриц: $\left(A^{-1} A\right) B = A^{-1} I$. Т.е. $IB=A^{-1}I$. По свойству единичной матрицы: $IB = B, A^{-1}I = A^{-1}$. Получаем $B = A^{-1}$.

Мы доказали, что для каждого $j$ система $Ax = e_j$ имеет единственное решение, и это решение есть $j$-й столбец матрицы $A^{-1}$.

Теперь перейдём непосредственно к доказательству факта из задачи. Пусть $A$ — обратная матрица порядка $n$, а матрица $\widetilde{A}$ получена из $A$ перестановкой строк.

Часть 1.

Рассмотрим систему $Ax = 0$. Очевидно, система $\widetilde{A} x = 0$ получается из системы $Ax = 0$ перестановкой уравнений. Т.к. решение системы определяется как набор чисел, удовлетворяющий всем уравнениям системы, то системы $Ax = 0$ и $\widetilde{A} x = 0$ имеют одно и то же множество решений. Поскольку матрица $A$ обратима, система $Ax = 0$ имеет единственное решение. Следовательно, система $\widetilde{A} x = 0$ также имеет единственное решение, а значит матрица $\widetilde{A}$ обратима.

Часть 2.

Рассмотрим $j$-й столбец матрицы $\widetilde{A}^{-1}$. Он является единственным решением системы $\widetilde{A} x = e_j$.

Система $\widetilde{A} x = e_j$ получена из системы $Ax = \widetilde{e_j}$ перестановкой уравнений, где $\widetilde{e_j}$ — столбец, полученный из $e_j$ той же перестановкой элементов.

Т.к. $e_j$ содержит ровно одну единицу, то $\widetilde{e_j} = e_k$ для некоторого $k \in \left\{1, \, \ldots, \, n\right\}$. Следовательно, система $\widetilde{A} x = e_j$ эквивалентна системе $Ax = e_k$. Её единственным решением является $k$-й столбец матрицы $A^{-1}$.

Таким образом, $j$-й столбец матрицы $\widetilde{A}^{-1}$ совпадает с $k$-м столбцом матрицы $A^{-1}$. Это означает, что матрица $\widetilde{A}^{-1}$ получается из $A^{-1}$ перестановкой столбцов в том же порядке, в каком были переставлены строки матрицы $A$. $\square$