Задача 16

Условие задачи

Матрица обратима, и при этом все её элементы и все элементы обратной матрицы неотрицательны. Докажите, что перестановкой строк данная матрица приводится к диагональному виду.

Решение задачи

Диагональная матрица, по определению, – это матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, остальные могут быть любыми, в том числе нулевыми.

У обратимой матрицы столбцы линейно независимы. По задаче 12 тогда линейно независимы и строки. Но нулевой вектор не может входить в линейно независимую систему. Следовательно, обратимая матрица не имеет ни нулевых столбцов, ни нулевых строк.

Обозначим $A = \left(a_{ij}\right)$, $A^{-1} = \left(b_{jk}\right)$. Тогда $\left(AA^{-1}\right)_{ik} = \sum\limits_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$. Но так как $AA^{-1} = I$, имеем

$$\sum\limits_{j=1}^n a_{ij} b_{jk} = \begin{cases} 1, & \text{при } i = k \\ 0, & \text{при } i \neq k \end{cases}$$

Поэтому при $i \ne k$ правая часть равна нулю, а все слагаемые неотрицательны, значит, $a_{ij} b_{jk} = 0 \quad \forall j$.

Если бы в строке $i$ матрицы $A$ были два положительных элемента $a_{ij_1} > 0, \, a_{ij_2} > 0$, то из предыдущего следовало бы, что в столбцах $j_1, \, j_2$ матрицы $A^{-1}$ все элементы, кроме возможно, $i$-го, равны нулю. Но столбцы обратимой матрицы ненулевые, следовательно, оба столбца имеют единственный ненулевой элемент в строке $i$, а значит пропорциональны, следовательно линейно зависимы. Но строки обратимой матрицы линейно независимы. Получили противоречие. Следовательно, в каждой строке $A$ не более одного ненулевого элемента. Так как $A$ обратима, нулевых строк нет, значит в каждой строке ровно один ненулевой элемент.

Аналогично из $A^{-1}A = I$ получаем, что в каждом столбце $A$ ровно один ненулевой элемент.

Следовательно, существует перестановка строк, при которой все ненулевые элементы окажутся на главной диагонали. $\square$