Задача 19

Условие задачи

Матрица $A$ обратима, а $B$ – произвольная матрица такого же порядка. Докажите, что матрицы $A + \varepsilon B$ обратимы при всех вещественных $\varepsilon$, достаточно малых по модулю.

Решение задачи

Пусть $A$ обратима. Тогда её столбцы линейно зависимы.

Рассмотрим матрицу $A + \varepsilon B = A \left(I + \varepsilon A^{-1} B\right)$. Достаточно доказать обратимость матрицы $I + \varepsilon C$, где $C := A^{-1} B$. То есть доказать, что столбцы матрицы $I + \varepsilon C$ линейно независимы при достаточно малых $\varepsilon$.

Обозначим столбцы матрицы $C$ через $c_1, \, \ldots, \, c_n$. Тогда столбцы матрицы $I + \varepsilon C$ имеют вид $e_i + \varepsilon c_i, \, i = 1, \, \ldots, \, n$.

Предположим, что существует линейная зависимость: $\alpha_1 \left(e_1 + \varepsilon c_1\right) + \ldots + \alpha_n \left(e_n + \varepsilon c_n\right) = 0$.

Перегруппируем: $\left(\alpha_1, \, \ldots, \, \alpha_n\right)^{\mathrm{T}} + \varepsilon \left(\alpha_1 c_1 + \ldots \alpha_n c_n\right) = 0$.

Обозначим $\alpha = \left(\alpha_1, \, \ldots, \, \alpha_n\right)^{\mathrm{T}}$. Тогда $\alpha = -\varepsilon C \alpha$.

Мы предполагаем существование линейной зависимости, поэтому $\alpha \ne 0$. Тогда хотя бы один элемент, скажем, $\alpha_k$, ненулевой.

Рассмотрим $k$-ю координату: $\alpha_k = -\varepsilon \left(C \alpha\right)_k$. Отсюда $\left|\alpha_k\right| \leqslant \left|\varepsilon\right| \sum\limits_{j = 1}^n \left|c_{kj}\right| \left|\alpha_j\right|$. Выберем $k$ так, что $\left|\alpha_k\right| = \max_j \left|\alpha_j\right|$. Тогда $\left|\alpha_k\right| \leqslant \left|\varepsilon\right| \left(\sum\limits_{j = 1}^n \left|c_{kj}\right|\right) \left|\alpha_k\right|$. Если $\alpha_k \ne 0$, делим: $1 \leqslant \left|\varepsilon\right| \sum\limits_{j = 1}^n \left|c_{kj}\right| \leqslant \left|\varepsilon\right| M$, где $M := \max_i \sum\limits_{j = 1}^n \left|c_{ij}\right|$. Из оценки следует $1 \leqslant \left|\varepsilon\right| M$. Но при $\left|\varepsilon\right| < \dfrac{1}{M}$: $\left|\varepsilon\right| M < 1$. Противоречие. Следовательно, столбцы матрицы $I + \varepsilon C$ линейно независимы при достаточно малых $\varepsilon$, значит эта матрица обратима. Тогда обратима и $A + \varepsilon B$. $\square$