Задача 2
Условие задачи
Известно, что для матриц $A$ и $B$ оба произведения $AB$ и $BA$ существуют. Докажите, что если $\left(AB\right)^k = 0$, то $\left(BA\right)^{k+1} = 0$.
Решение задачи
Докажем утверждение по индукции: для любого $r \geqslant 1$ справедливо $\left(BA\right)^r = B \left(AB\right)^{r-1} A$.
База ($r = 1$): $\left(BA\right)^1 = BA = B \left(AB\right)^0 A$. Тождество очевидно.
Шаг индукции (используем свойство ассоциативности): $\left(BA\right)^{r+1} = \left(BA\right)^r\left(BA\right) = \left(B \left(AB\right)^{r-1} A\right) \left(BA\right) = B \left(AB\right)^{r-1} \left(AB\right) A = B \left(AB\right)^r A$.
Таким образом, утверждение верно для всех $r \geqslant 1$.
Подставим $r = k + 1$: $\left(BA\right)^{k+1} = B \left(AB\right)^k A$.
По условию $\left(AB\right)^k = 0$, поэтому $B \left(AB\right)^k A = B \cdot 0 \cdot A = 0$. $\square$