Задача 20

Условие задачи

Докажите, что любую квадратную вещественную матрицу можно представить в виде суммы двух обратимых матриц.

Решение задачи

Пусть $A$ – произвольная квадратная вещественная матрицы порядка $n$.

Возьмём единичную матрицу $I$. По предыдущей задаче, так как $I$ обратима, а $A$ – произвольная матрица того же порядка, матрица $I + \varepsilon A$ обратима при всех достаточно малых $\varepsilon \ne 0$. Выберем такое $\varepsilon$.

Тогда матрица $\varepsilon A = \left(I + \varepsilon A\right) - I$ есть разность двух обратимых матриц. Умножая на ненулевое число $\varepsilon^{-1}$, получаем $A = \varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right) - \varepsilon^{-1} I$.

Но умножение обратимой матрицы на ненулевое число сохраняет обратимость. Докажем это:

Пусть матрицы $M$ обратима, то есть существует матрица $M^{-1}$, такая что $MM^{-1} = M^{-1}M = I$. Пусть $\lambda = 0$. Рассмотрим матрицу $\lambda M$.

$\left(\lambda M\right) \left(\lambda^{-1} M^{-1}\right) = \lambda\lambda^{-1} MM^{-1} = I$. Здесь $\lambda^{-1} M^{-1}$ – кандидат на обратную матрицу.

Аналогично $\left(\lambda^{-1} M^{-1}\right) \left(\lambda M\right) = I$.

Следовательно, матрица $\lambda M$ обратима, причём $\left(\lambda M\right)^{-1} = \lambda^{-1} M^{-1}$.

Доказано.

Следовательно, матрицы $\varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right)$ и $-\varepsilon^{-1} I$ обратимы. Значит, $A = \varepsilon^{-1} \left(I + \varepsilon A\right) + \left(-\varepsilon^{-1} I\right)$ есть сумма двух обратимых матриц. $\square$