Задача 21

Условие задачи

Матрица имеет диагональное преобладание по строкам, все элементы её главной диагонали положительны, а все остальные элементы отрицательны. Докажите, что матрица обратима и все элементы обратной матрицы положительны.

Решение задачи

Обратимость такой матрицы доказана в данном параграфе. Докажем, что все элементы обратной к этой матрице положительны.

Пусть $b^{\left(k\right)}$ – решение системы $Ax = e_k$, где $e_k$ – $k$-й столбец единичной матрицы. Тогда $k$-й столбец матрицы $A^{-1}$ равен $b^{\left(k\right)}$.

Нужно доказать, что все координаты $b^{\left(k\right)}$ положительны.

Предположим противное: среди координат решения есть неположительные. Возьмём минимальную: $x_m = \min_i x_i$.

Тогда $x_m \leqslant 0, \, x_j \geqslant x_m \, \forall j$.

Рассмотрим $m$-ю строку системы $a_{mm} x_m + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} x_j = \delta_{mk}$.

Так как $a_{mj} < 0$ при $j \ne m$ и $x_j \geqslant x_m$, то $a_{mj} x_j \leqslant a_{mj} x_m$. Следовательно, $a_{mm} x_m + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} x_j \leqslant \left(a_{mm} + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj}\right) x_m$. Но $a_{mm} + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} = a_{mm} - \sum\limits_{j \ne m} \left|a_{mj}\right| > 0$ в силу диагонального преобладания.

Так как $x_m \leqslant 0$, получаем $\left(a_{mm} + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj}\right) x_m \leqslant 0$. Значит, $\delta_{mk} \leqslant 0$. Если $m = k$, то $\delta_{mk} = 1$, противоречие. Следовательно, $m \ne k$, и поэтому $\delta_{mk} = 0$.

Тогда из предыдущих неравенств получаем $0 = a_{mm} x_m + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} x_j \leqslant \left(a_{mm} + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj}\right) x_m$.

Так как $a_{mm} + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} > 0$, то отсюда следует $x_m \geqslant 0$. Но по определению $x_m \leqslant 0$. Значит, $x_m = 0$.

Так как $x_m$ – минимальная координата, получаем, $x_j \geqslant 0 \, \forall j$.

Теперь снова рассмотрим равенство $a_{mm} x_m + \sum\limits_{j \ne m} a_{mj} x_j = \delta_{mk}$. Поскольку $x_m = 0$ и $\delta_{mk} = 0$, имеем $\sum\limits_{j \ne m} a_{mj} x_j = 0$. Но $a_{mj} < 0$ и $x_j \geqslant 0$, поэтому каждое слагаемое $a_{mj} x_j \leqslant 0$. Сумма неположительных чисел равна нулю только тогда, когда все они равны нулю. Следовательно, $a_{mj} x_j = 0 \, \forall j \ne m$.

Так как $a_{mj} < 0$, то $x_j = 0 \, \forall j \ne m$. Следовательно, $x = 0$, что невозможно, поскольку $Ax = e_k \ne 0$.

Полученное противоречие показывает, что неположительных координат нет. Значит, $x_i > 0 \, \forall i$.

Следовательно, каждый столбец матрицы $A^{-1}$ положителен, то есть все элементы матрицы $A^{-1}$ положительны. $\square$