Задача 22

Условие задачи

Билинейная форма $f(x, y) = x^{\mathrm{T}} A y$ называется невырожденной, если для любого вектора $x$ существует такой вектор $y$, что $f(x, y) \ne 0$. Докажите, что для невырожденности билинейной формы необходима и достаточна обратимость её матрицы $A$.

Решение задачи

Пусть $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ – матрица порядка $n$, а $x$ и $y$ – столбцы размера $n$. Тогда $x^{\mathrm{T}}$ – это строка $\begin{bmatrix} x_1 & \ldots & x_n \end{bmatrix}$.

При $x = 0$ строка $x^{\mathrm{T}}$ нулевая, поэтому $f(0, y) = 0$ при всех $y$. В условии задачи поэтому следует иметь в виду, что под любым вектором $x$ мы понимаем любой ненулевой вектор $x$.

Обозначим через $e_i$ арифметический вектор, отличающийся от нулевого только единицей в $i$-й позиции.

Зафиксируем вектор $x$ и рассмотрим строку $r := x^{\mathrm{T}} A$ размера $1 \times n$:

$$r_j = \sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ij} \quad \left(j = 1, \, \ldots, \, n\right) \text{.} \tag{1}$$

По ассоциативности умножения матриц:

$$f(x, y) = \left(x^{\mathrm{T}} A\right) y = ry = \sum\limits_{j=1}^n r_j y_j \ \text{.} \tag{2}$$

Можно заметить, что если строка $r$ нулевая, то $f(x, y) = 0$ при всех $y$, и подходящего $y$ не существует. Если же $r_k \ne 0$ при некотором номере $k$, то, взяв $y = e_k$, получаем $f(x, e_k) = r e_k = \sum\limits_{j=1}^n r_j \left(e_k\right)_j = r_k \ne 0$, и тогда подходящий $y$ найден.

Тогда для невырожденности билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы $x^{\mathrm{T}} A \ne 0 \quad \forall x : x \ne 0$.

Также заметим, что если $s_1, \, \ldots, \, s_n$ – строки матрицы $A$, то $j$-й элемент строки $x_1 s_1 + \ldots + x_n s_n$ равен $\sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ij}$, то есть, по $\left(1\right)$ равен $r_j$. Значит $x^{\mathrm{T}} A = x_1 s_1 + \ldots + x_n s_n$, и тогда для невырожденности билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы никакая нетривиальная линейная комбинация строк не равнялась нулю, т.е. чтобы строки матрицы билинейной формы ($A$) были линейно независимы.

Отсюда видно, чем задача является по существу. Невырожденность – это условие на строки, а обратимость по §2.14 – условие на столбцы. Значит доказать предстоит, что строки квадратной матрицы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы её столбцы. Одна половина этой равносильности в книге уже была приведена – в условии Задачи 12. Остаётся другая половина.

Достаточность. Пусть матрица $A$ обратима. По утверждению §2.14 её столбцы линейно независимы, а по Задаче 12 из линейной независимости столбцов квадратной матрицы вытекает линейная независимость её строк. Значит строки матрицы $A$ линейно независимы, а это, как показано выше, и означает невырожденность билинейной формы.

Необходимость. Докажем это в равносильной форме: если матрица $A$ необратима, то билинейная форма вырождена, т.е. $\exists x: x \ne 0, \ f(x, y) = 0 \quad \forall y$.

Раз $A$ необратима, то по утверждению §2.14 её столбцы $a_1, \, \ldots, \, a_n$ линейно зависимы: найдутся числа $c_1, \, \ldots, \, c_n$, не все равные нулю, для которых

$$c_1 a_1 + c_2 a_2 + \ldots + c_n a_n = 0 \ \text{.}$$

При $n = 1$ получаем $c_1 a_1 = 0$ при $c_1 \ne 0$, откуда $a_1 = 0$, то есть $A = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$. Билинейная форма тождественно нулевая, и при $x = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \ne 0$ подходящего $y$ нет – форма вырождена.

Пусть теперь $n \geqslant 2$. Выделим столбец, выражающийся через все остальные, используя лемму о линейной зависимости (§2.5).

Если $a_1 \ne 0$, лемма применима к системе векторов-столбцов $a_1, \, \ldots, \, a_n$ и даёт номер $k, \ 2 \leqslant k \leqslant n$, для которого $a_k$ – линейная комбинация предшествующих столбцов $a_1, \, \ldots, \, a_{k-1}$. Приписав к этой линейной комбинации оставшиеся столбцы $a_{k+1}, \, \ldots, \, a_n$ с нулевыми коэффициентами, выражаем $a_k$ через все столбцы, кроме $k$-го. Если же $a_1 = 0$, лемма неприменима, но требуемое очевидно: берём $k = 1$ и пишем $a_1 = 0 \cdot a_2 + \ldots + 0 \cdot a_n$.

В обоих случаях нашлись номер $k$ и числа $\lambda_j, \ j \ne k$, для которых

$$a_k = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne k}} \lambda_j a_j \ \text{.} \tag{3}$$

То есть, $k$-й столбец выражается через остальные $n - 1$ столбцов. Обозначим эти оставшиеся столбцы через $v_1, \, \ldots, \, v_{n-1}$ – это в точности столбцы $a_j$ с номерами $j \ne k$.

Теперь построим нужный вектор $x$. Составим матрицу $B$ размера $\left(n-1\right) \times n$, у которой $l$-я строка есть

$$v_l^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix}\left(v_l\right)_1 & \ldots & \left(v_l\right)_n\end{bmatrix}, \quad l = 1, \, \ldots, \, n-1 \ \text{.}$$

Так как $n - 1 < n$, по утверждению §2.16 столбцы матрицы $B$ линейно зависимы, а произведение $Bx$ – это, по §2.2, линейная комбинация столбцов матрицы $B$ с коэффициентами $x_1, \, \ldots, \, x_n$. Поэтому существует столбец $x \ne 0$ с $Bx = 0$, то есть

$$\sum\limits_{i=1}^n x_i \left(v_l\right)_i = 0, \quad l = 1, \, \ldots, \, n-1 \ \text{.} \tag{4}$$

Проверим, что для этого $x$ строка $x^{\mathrm{T}} A$ нулевая, то есть что $\sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ij} = 0$ при каждом $j = 1, \, \ldots, \, n$.

Пусть сначала $j \ne k$. Тогда столбец $a_j$ – один из столбцов $v_1, \, \ldots, \, v_{n-1}$, скажем $a_j = v_l$. Значит $a_{ij} = \left(v_l\right)_i$ при всех $i$, и нужное равенство – это в точности $l$-е равенство из $\left(4\right)$:

$$\sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ij} = \sum\limits_{i=1}^n x_i \left(v_l\right)_i = 0 \ \text{.} \tag{5}$$

Пусть теперь $j = k$. Возьмём $i$-ю координату обеих частей равенства $\left(3\right)$: $a_{ik} = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne k}} \lambda_j a_{ij}$. Тогда

$$\sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ik} = \sum\limits_{i=1}^n x_i \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne k}} \lambda_j a_{ij} = \\ = \sum\limits_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n \\ j \ne k}} \lambda_j \sum\limits_{i=1}^n x_i a_{ij} = 0 \ \text{,}$$

поскольку каждая внутренняя сумма равна нулю по $\left(5\right)$.

Итак $x \ne 0$, а строка $x^{\mathrm{T}} A$ нулевая. По $\left(2\right)$ тогда $f(x, y) = 0$ при всех $y$. Тем самым доказано: если $A$ необратима, то билинейная форма вырождена. Это контрапозиция утверждения «если форма невырождена, то $A$ обратима». Импликация и её контрапозиция равносильны, поэтому необходимость доказана.

Обе половины доказаны: обратимость матрицы $A$ достаточна для невырожденности билинейной формы и необходима для неё. Следовательно, форма $f(x, y) = x^{\mathrm{T}} Ay$ невырождена тогда и только тогда, когда её матрица $A$ обратима. $\square$