Задача 4

Условие задачи

Известно, что $A$ и $B$ – вещественные матрицы порядка $n$ и при этом $\left(A + \lambda B\right)^k = 0$ для некоторого натурального числа $k$ и любого вещественного числа $\lambda$. Докажите, что $B^k = 0$.

Решение задачи

Рассмотрим произведение $\left(A + \lambda B\right)^k = \underbrace{\left(A + \lambda B\right) \left(A + \lambda B\right) \ldots \left(A + \lambda B\right)}_{k \text{ сомножителей}}$.

При раскрытии скобок из каждого множителя выбирается либо $A$, либо $\lambda B$. Поэтому каждое слагаемое имеет вид $\lambda^s X_1 X_2 \ldots X_k$, где $X_i \in \left\{A, B\right\}$, а число $s$ равно количеству выбранных множителей $B$.

Следовательно, $\left(A + \lambda B\right)^k = \sum\limits^k_{s = 0} \lambda^s M_s = \lambda^k M_k + \lambda^{k - 1} M_{k - 1} + \ldots + \lambda M_1 + M_0$, где каждая матрица $M_s$ является суммой всех произведений матриц $A$ и $B$, содержащих ровно $s$ множителей $B$. Поэтому матрицы $M_s$ не зависят от $\lambda$.

При этом коэффициент при $\lambda^k$ получается только одним способом: нужно из каждого множителя выбрать $\lambda B$. Поэтому $M_k = B^k$.

Итак, $\left(A + \lambda B\right)^k = \lambda^k B^k + \lambda^{k - 1} M_{k - 1} + \ldots + \lambda M_1 + M_ 0$.

По условию $\left(A + \lambda B\right)^k = 0 \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$. Следовательно, $\lambda^k B^k + \lambda^{k - 1} M_{k - 1} + \ldots + \lambda M_1 + M_0 = 0 \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим произвольный элемент с индексами $\left(i, j\right)$. Тогда для $\lambda^k \left(B^k\right)_{ij} + \lambda^{k - 1} \left(M_{k - 1}\right)_{ij} + \ldots + \lambda \left(M_1\right)_{ij} + \left(M_0\right)_{ij} = 0 \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$.

Левая часть является многочленом по переменной $\lambda$, тождественно равным нулю. Следовательно, все коэффициенты этого многочлена равны нулю. В частности, $\left(B^k\right)_{ij} = 0$.

Так как $\left(i, j\right)$ были произвольными, получаем $B^k = 0$. $\square$