Задача 7

Условие задачи

Матрица размера $4 \times 3$ имеет элементы $a_{ij} > 0$ при $i = j$ и $a_{ij} < 0$ при $i \ne j$. Докажите, что её столбцы линейно независимы.

Решение задачи

Пусть столбы матрицы $A$ линейно зависимы. Обозначим их через $a_1, \, a_2, \, a_3$.

Тогда по лемме о линейной зависимости один из столбцов выражается через предыдущие, т.е. если $a_1, \, a_2, \, a_3$ линейно зависимы, то либо $a_2 \in L\left(a_1\right)$, либо $a_3 \in L\left(a_1, a_2\right)$.

Предположим сначала, что $a_2 = \lambda a_1$.

Тогда $a_{12} = \lambda a_{11}, \, \lambda = \dfrac{a_{12}}{a_{11}} < 0$, так как $a_{12} < 0, \, a_{11} > 0$. С другой стороны, $a_{32} = \lambda a_{31}, \, \lambda = \dfrac{a_{32}}{a_{31}} > 0$, так как $a_{32} < 0, a_{31} < 0$. Получаем противоречие. Следовательно, $a_2 \notin L\left(a_1\right)$.

Теперь предположим, что $a_3 = \alpha a_1 + \beta a_2$.

Тогда для любого $i = 1, \, 2, \, 3, \, 4$: $a_{13} = \alpha a_{i1} + \beta a_{i2}$.

При $i = 1$ имеем $a_{13} = \alpha a_{11} + \beta a_{12}$. Так как $a_{13} < 0, \, a_{11} > 0, \, a_{12} < 0$, невозможно, чтобы одновременно выполнялось $\alpha \geqslant 0, \, \beta \leqslant 0$, поскольку тогда $\alpha a_{11} \geqslant 0, \, \beta a_{12} \geqslant 0$, а значит, $a_{13} = \alpha a_{11} + \beta a_{12} \geqslant 0$, что противоречит условию $a_{13} < 0$.

При $i = 2$ получаем $a_{23} = \alpha a_{21} + \beta a_{22}$. Так как $a_{23} < 0, \, a_{21} < 0, \, a_{22} > 0$, невозможно, чтобы одновременно выполнялось $\alpha \leqslant 0, \, \beta \geqslant 0$, поскольку тогда $\alpha a_{21} \geqslant 0, \, \beta a_{22} \geqslant 0$, а значит, $a_{23} = \alpha a_{21} + \beta a_{22} \geqslant 0$, что противоречит условию $a_{23} < 0$.

Следовательно, $\alpha$ и $\beta$ должны иметь одинаковый строгий знак (т.е. $\alpha \beta > 0$).

При $i =3$ получаем $a_{33} = \alpha a_{31} + \beta a_{32}$. Так как $a_{33} > 0, \, a_{31} <0, \, a_{32} < 0$, числа $\alpha$ и $\beta$ не могут быть одновременно положительными, поскольку тогда $\alpha a_{31} < 0, \, \beta a_{32} < 0$, а значит, $a_{33} = \alpha a_{31} + \beta a_{32} < 0$, что противоречит условию $a_{33} > 0$.

Следовательно, с учётом того, что $\alpha$ и $\beta$ имеют одинаковый строгий знак, получаем $\alpha < 0, \, \beta < 0$.

Тогда из равенства $a_{43} = \alpha a_{41} + \beta a_{42}$ и условий $a_{41} < 0, \, a_{42} < 0$ получаем $\alpha a_{41} > 0, \, \beta a_{42} > 0$, следовательно, $a_{43} > 0$, что противоречит условию $a_{43} < 0$. Следовательно, $a_3 \notin L\left(a_1, a_2\right)$.

Итак, ни один столбец не выражается через предыдущие, следовательно, столбцы матрицы $A$ линейно независимы. $\square$