Задача 8

Условие задачи

Пусть $V$ – произвольное векторное пространство, вложенное в векторное пространство $W$. Докажите, что если $\dim V < \dim W$, то в пространстве $W$ существует базис, не содержащий ни одного вектора из $V$.

Решение задачи

Пусть $\dim V = m$, $\dim W = n$, где $m < n$.

Возьмём базис пространства $V$: $v_1, \, \ldots, \, v_m$.

Так как $V \subset W$, векторы $v_1, \, \ldots, \, v_m$ рассматриваются как векторы пространства $W$. Эта система линейно независима в $W$.

Поскольку $m < n = \dim W$, система $v_1, \, \ldots, \, v_m$ не является максимальной линейно независимой системой в $W$. Поэтому существует вектор $w_1 \in W$ такой, что система $v_1, \, \ldots, \, v_m, \, w_1$ линейно независима.

В частности $w_1 \notin V$, поскольку любой вектор из $V$ линейно выражается через $v_1, \, \ldots, \, v_m$ и тогда указанная система была бы линейно зависимой.

Если система $v_1, \, \ldots, \, v_m, \, w_1$ не максимальна, то существует вектор $w_2 \in W$ такой, что система $v_1, \, \ldots, \, v_m, \, w_1, \, w_2$ линейно независима. Тогда $w_2 \notin V$ по той же причине.

Продолжая этот процесс, через $n - m$ шагов получаем систему $v_1, \, \ldots, \, v_m, \, w_1, \, \ldots, \, w_{n-m}$ из $n$ линейно независимых векторов пространства $W$.

Т.к. $\dim W = n$, эта система, согласно утверждению из параграфа, является базисом пространства $W$.

Рассмотрим теперь систему $u_1, \, \ldots, \, u_m, \, w_1, \, \ldots, \, w_{n-m}$, где $u_i = v_i + w_1, \; i = 1, \ldots, m$.

Докажем, что она линейно независима. Пусть $\alpha_1 u_1 + \ldots + \alpha_m u_m + \beta_1 w_1 + \ldots + \beta_{n-m} w_{n-m} = 0$.

Подставляя $u_i = v_1 + w_1$, получаем $\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_m v_m + \left(\alpha_1 + \ldots + \alpha_m + \beta_1\right) w_1 + \beta_2 w_2 + \ldots + \beta_{n-m} w_{n-m} = 0$.

Так как система $v_1, \, \ldots, \, v_m, \, w_1, \, \ldots, \, w_{n-m}$ линейно независима, имеем

$$\alpha_1 = \ldots = \alpha_m = 0, \tag{1}$$

$$\beta_2 = \ldots = \beta_{n-m} = 0,$$

$$\alpha_1 + \ldots + \alpha_m + \beta_1 = 0. \tag{2}$$

Из $\left(1\right)$ и $\left(2\right)$ следует $\beta_1 = 0$. Следовательно, все коэффициенты равны нулю, и система линейно независима. Она содержит $m + \left(n - m\right) = n$ векторов, поэтому является базисом пространства $W$.

Остаётся проверить, что ни один из её векторов не принадлежит $V$.

Векторы $w_1, \, \ldots, \, w_{n-m}$ не принадлежат $V$ по построению.

Покажем теперь что векторы $u_1, \, \ldots, \, u_m$ также не принадлежат $V$. Если бы для некоторого $i$ $u_i = v_i + w_1 \in V$, то, поскольку $v_i \in V$, получили бы $w_1 = u_i - v_i \in V$, что противоречит выбору $w_1$.

Следовательно, базис $u_1, \, \ldots, \, u_m, \, w_1, \, \ldots, \, w_{n-m}$ не содержит ни одного вектора из $V$. $\square$