Задача 9

Условие задачи

Пусть $A$ – матрица порядка $n$. Докажите, что если $A^{n + 1} = 0$, то $A^n = 0$.

Решение задачи

Рассматриваем столбцы матрицы как векторы некоторого $n$-мерного пространства $V$.

Пусть есть матрица $A = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} &\ldots & a_{nn} \end{bmatrix}$. Получить $k$-й столбец можно через $A e_k$, где $e_k$ – это стандартный базисный вектор (столбец), имеющий $1$ на $k$-м месте и $0$ в остальных. При умножении матрицы на такой столбец получаем ровно $k$-й столбец матрицы $A$.

Умножение матрицы на столбец – это линейная комбинация столбцов матрицы: $A \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = x_1 a_1 + \ldots + x_n a_n$.

Разумеется, все $e_k$ линейно независимы.

Перейдём непосредственно к решению задачи и предположим противное: $A^n \ne 0$.

Тогда существует номер $j \in \left\{1, \, \ldots, \, n\right\}$ такой, что $A^n e_j \ne 0$. Рассмотрим систему векторов $e_j, \, A e_j, \, A^2 e_j, \, \ldots, \, A^n e_j$.

Докажем, что она линейно независима. Предположим, что существует линейная зависимость $\alpha_0 e_j + \alpha_1 A e_j + \ldots + \alpha_n A^n e_j = 0$, где не все коэффициенты равны нулю. Пусть $m$ – наименьший индекс, для которого $\alpha_m \ne 0$. Тогда $\alpha_0 = \alpha_1 = \ldots = \alpha_{m-1} = 0$, и потому $\alpha_m A^m e_j + \alpha_{m+1} A^{m+1} e_j + \ldots + \alpha_n A^n e_j = 0$.

Домножим это равенство слева на $A^{n-m}$. По ассоциативности умножения матриц получаем $\alpha_m A^n e_j + \alpha_{m+1} A^{n+1} e_j + \ldots + \alpha_n A^{2n - m} e_j = 0$.

Так как $A^{n+1} = 0$, то для любого $k \geqslant n + 1$ имеем $A^k = 0$. Следовательно, $A^{n+1} e_j = \ldots = A^{2n - m} e_j = 0$, и потому остаётся $\alpha_m A^n e_j = 0$. Но $A^n e_j \ne 0$, значит, $\alpha_m = 0$, что противоречит выбору $m$. Следовательно, векторы $e_j, \, A e_j, \, A^2 e_j, \, \ldots, \, A^n e_j$ линейно независимы.

Мы получили $n + 1$ линейно независимых векторов в $V$, что невозможно, поскольку $\dim V = n$. Противоречие. Следовательно, $A^n = 0$. $\square$