Задача 9

Условие задачи

Пусть $A$ – матрица порядка $n$. Докажите, что если $A^{n + 1} = 0$, то $A^n = 0$.

Решение задачи

Пусть $V$ – множество всех арифметических векторов-столбцов размера $n$. Оно непусто и замкнуто относительно сложения и умножения на число (сумма двух столбцов размера $n$ и произведение столбца на число – снова столбцы размера $n$), поэтому по §2.4 это векторное пространство. Пусть $e_i$ – столбец размера $n$ с единицей в позиции $i$ и нулями на остальных местах; тогда всякий столбец $x = \left(x_1, \, \ldots, \, x_n\right)$ записывается как $x = \sum\limits_{i=1}^n x_i e_i$, то есть $V = L(e_1, \, \ldots, \, e_n)$. По утверждению §2.9 линейная оболочка $n$ векторов имеет размерность не выше их числа, поэтому

$$\dim V \leqslant n \ \text{.}$$

Предположим, что $A^n \ne 0$. Тогда у матрицы $A^n$ хотя бы один столбец ненулевой. При этом произведение матрицы на единичный столбец $e_j$ в результате даёт ровно её $j$-й столбец, то есть $A^n e_j$ и есть $j$-й столбец матрицы $A^n$. Значит, найдётся индекс $j$, для которого

$$A^n e_j \ne 0 \ \text{.}$$

Зафиксируем это $j$ до конца доказательства.

Рассмотрим в $V$ векторы

$$e_j, \, A e_j, \, A^2 e_j, \, \ldots, \, A^n e_j$$

– то есть $A^i e_j$ при $i = 0, \, 1, \, \ldots, \, n$. Всего их $n + 1$.

Пусть некоторая их линейная комбинация равна нулю:

$$\sum\limits_{i=0}^n \alpha_i A^i e_j = \alpha_0 e_j + \alpha_1 A e_j + \ldots + \alpha_n A^n e_j = 0 \ \text{.}$$

Докажем, что все $\alpha_i = 0$. Предположим противное: среди коэффициентов есть ненулевые. Пусть $m$ – наименьший индекс с $\alpha_m \ne 0$ (тогда $0 \leqslant m \leqslant n$). Слагаемые с номерами меньше $m$ исчезают (их коэффициенты нулевые), и остаётся

$$\sum\limits_{i=m}^n \alpha_i A^i e_j = 0 \ \text{.}$$

Домножим это равенство слева на матрицу $A^{n-m}$; показатель $n-m$ неотрицателен, ведь $m \leqslant n$. Пользуясь $A^{n-m} A^i = A^{n-m+i}$, получаем

$$\sum\limits_{i=m}^n \alpha_i A^{n-m+i} e_j = 0 \ \text{.}$$

Посмотрим на показатели. У первого слагаемого ($i = m$) показатель равен ровно $n$, так что это слагаемое – $\alpha_m A^n e_j$. У каждого следующего ($i \geqslant m + 1$) показатель

$$n - m + i \geqslant n - m + \left(m + 1\right) = n + 1$$

А любая степень $A^k$ с показателем $k \geqslant n + 1$ равна нулю; вынося множитель $A^{n+1}$,

$$A^k = A^{k-\left(n+1\right)} A^{n+1} = A^{k-\left(n+1\right)} \cdot 0 = 0 \ \text{.}$$

Поэтому все слагаемые с $i \geqslant m+1$ обращаются в $0$, и от суммы остаётся лишь первое:

$$\alpha_m A^n e_j = 0 \ \text{.}$$

Но $A^n e_j \ne 0$, а произведение числа на ненулевой вектор равно нулю только при нулевом числе; значит, $\alpha_m = 0$. Это противоречит выбору $m$, где $\alpha_m \ne 0$. Стало быть, ненулевых коэффициентов нет: все $\alpha_i = 0$. Линейная комбинация обращается в 0 лишь тривиально – векторы $e_j, \, A e_j, \, A^2 e_j, \, \ldots, \, A^n e_j$ линейно независимы.

Итак, в пространстве $V$ построена линейно независимая система из $n+1$ вектора. Но по §2.9 всякая система, в которой векторов больше, чем $\dim V$, линейно зависима; а у нас $\dim V \leqslant n < n + 1$, поэтому система из $n+1$ вектора обязана быть зависимой. Противоречие. Значит, предположение $A^n \ne 0$ ложно, и $A^n = 0$. $\square$